Как Найти Производную Сложной Функции

Производная сложной функции позволяет найти скорость изменения значений функции, которая зависит от другой функции. Для нахождения производной сложной функции применяется правило цепной дифференциации.

Для начала необходимо знать правила дифференцирования элементарных функций. Затем применяется правило цепной дифференциации, которое объясняется следующим образом:

Если у нас есть функции f(x) и g(x), и функция y(x) является составной функцией y(x) = f(g(x)), то производная сложной функции вычисляется следующим образом:

y'(x) = f'(g(x)) * g'(x).

То есть, чтобы найти производную сложной функции, необходимо сначала найти производные каждой из внутренних функций f(x) и g(x), а затем перемножить их.

Пример:

Пусть y(x) = (3x^2 + 2x + 1)^4. Для начала найдем производную внутренней функции f(x) = x^4 и внешней функции g(x) = 3x^2 + 2x + 1.

Производная внутренней функции f'(x) = 4x^3.

Производная внешней функции g'(x) = 6x + 2.

Используем формулу производной сложной функции:

y'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = (4(3x^2 + 2x + 1)^3) * (6x + 2).

Итак, мы нашли производную сложной функции y(x) = (3x^2 + 2x + 1)^4. Это пример применения правила цепной дифференциации для нахождения производной сложной функции.