Как Найти Первообразную Функции Примеры С Решением

Первообразная функция является обратной операцией к нахождению производной. Для того чтобы найти первообразную функции, необходимо использовать методы интегрирования. Одним из самых распространенных методов является метод интегрирования по частям.

Предположим, у нас есть функция f(x), и мы хотим найти ее первообразную F(x). Применяя метод интегрирования по частям, мы можем записать формулу:

∫ f(x) dx = F(x) - ∫ F'(x) dx

Здесь F'(x) обозначает производную функции F(x). Идея заключается в том, чтобы выбрать часть функции для интегрирования и другую часть для дифференцирования, чтобы упростить задачу.

Приведу пример для более ясного понимания. Рассмотрим функцию f(x) = x * sin(x). Чтобы найти ее первообразную, мы можем применить метод интегрирования по частям:

∫ x * sin(x) dx = x * (-cos(x)) - ∫ (-cos(x)) dx

Далее, верхний интеграл становится частью первообразной F(x), а второй интеграл может быть рассмотрен как новая функция, которую мы должны интегрировать. Таким образом, мы упростили задачу и можем продолжить решение.

В итоге, первообразная для f(x) = x * sin(x) равна F(x) = -x * cos(x) + ∫ cos(x) dx. Таким образом, мы нашли первообразную функции.

Метод интегрирования по частям является лишь одним из множества методов, которые могут использоваться для нахождения первообразной функции. В зависимости от формы функции и других условий, может потребоваться применение других методов интегрирования.