КАК ВЫЧИСЛИТЬ ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ С ПОМОЩЬЮ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

Для вычисления площади поверхности с помощью двойного интеграла требуется использовать понятие "поверхностного интеграла". Такой интеграл позволяет найти площадь поверхности, которая задана в трехмерном пространстве.

Для начала, необходимо параметризовать поверхность с помощью двух переменных, например, u и v. Параметризация позволяет представить каждую точку поверхности в виде функции двух переменных (x(u,v), y(u,v), z(u,v)). Важно выбрать такую параметризацию, которая позволяет задать все точки поверхности исчерпывающим образом.

Далее, площадь поверхности S может быть вычислена с помощью двойного интеграла:

S = ∬_D |r_u x r_v| dA,

где D - это область в плоскости (u,v), описывающая границы параметризации. r_u и r_v - это векторы частных производных параметризации, а их векторное произведение |r_u x r_v| определяет величину нормали к поверхности в каждой точке. dA обозначает элемент площади в плоскости (u,v).

Полученный двойной интеграл позволяет найти площадь поверхности S. Для его вычисления можно использовать методы численного интегрирования или аналитические методы, если параметризация и границы области D позволяют упростить выражение.

Вычисление двойного интеграла

Математический анализ, 43 урок, Приложения двойных интегралов

Объем через двойной интеграл

9. Несобственные интегралы 1 рода

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатах

Пересечение двух цилиндров: объем и площадь поверхности через двойной интеграл

Математика без ху%!ни. Двойные интегралы. Часть1. Как вычислять.