КАК ДОКАЗАТЬ ЧТО ПРОИЗВОДНАЯ СИНУСА РАВНА КОСИНУСУ

Доказательство того, что производная синуса равна косинусу, основывается на знаниях о тригонометрических функциях и дифференцировании.

Рассмотрим функцию синуса. Для любого угла x его производная равна косинусу этого угла, то есть:

d/dx(sin(x)) = cos(x).

Чтобы доказать это, можно воспользоваться представлением синуса через ряд Тейлора:

sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...

Разложение синуса в ряд позволяет нам выразить его производную. Продифференцируем правую и левую части разложения:

d/dx(sin(x)) = d/dx(x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...).

После дифференцирования, все слагаемые, кроме первого, содержат x и его степени, которые обращаются в ноль при дифференцировании.

Таким образом, получаем:

d/dx(sin(x)) = d/dx(x) = 1.

С другой стороны, производная косинуса может быть найдена аналогичным способом. Представим косинус через ряд Тейлора:

cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...

Аналогично дифференцируем обе части разложения:

d/dx(cos(x)) = d/dx(1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...).

Опять же, все слагаемые, кроме первого, исчезают при дифференцировании и получаем:

d/dx(cos(x)) = d/dx(1) = 0.

Из полученных результатов видно, что производная синуса равна косинусу:

d/dx(sin(x)) = cos(x).

Таким образом, доказано, что производная синуса равна косинусу для любого угла x.

Производная сложной функции и производная обратной функции - Ботай со мной #060 - Борис Трушин -

вывод формул синус и косинус суммы углов

5. Производная сложной функции примеры №1.

Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математика

Вывод производной sin x, cos x, степенной функции (x^n).

✓ Определение производной. Производные основных функций - матан #030 - Борис Трушин

ПРОИЗВОДНАЯ функции. Объяснение математического смысла.

Доказательство формул синуса и косинуса суммы и разности

Почему производная синуса равна косинусу?